Kriging

Kriging bezeichnet eine Familie geostatistischer Interpolationsverfahren, benannt nach dem südafrikanischen Bergbauingenieur Danie Krige, der die Nutzung statistischer Methoden zur Schätzung von Erzgehalten aus spärlichen Bohrlochproben pionierte. Anders als deterministische Interpolationsmethoden nutzt Kriging die räumliche Autokorrelationsstruktur der Daten, modelliert durch das Variogramm, um statistisch optimale Vorhersagen im Sinne einer minimalen Vorhersagevarianz zu erzeugen. Diese doppelte Ausgabe aus vorhergesagten Werten und Unsicherheitsschätzungen unterscheidet Kriging von allen deterministischen Alternativen.

Die Grundlage von Kriging ist das Variogramm (oder Semivariogramm), das quantifiziert, wie die Ähnlichkeit von Daten mit zunehmender Entfernung zwischen Stichprobenpunkten abnimmt. Das experimentelle Variogramm wird aus Stichprobendaten berechnet, indem die Semivarianz der Wertunterschiede gegen die Trennungsdistanz (Lag) aufgetragen wird. An das experimentelle Variogramm wird anschließend ein mathematisches Modell angepasst, etwa ein sphärisches, exponentielles oder gaußsches Modell. Das angepasste Modell erfasst drei Schlüsselparameter: den Nugget (Mikroskalen-Variation und Messfehler), den Sill (die Semivarianz, ab der die räumliche Autokorrelation aufhört) und die Range (die Distanz, jenseits derer Beobachtungen im Wesentlichen unabhängig sind). Diese Parameter steuern direkt die Kriging-Gewichte und das Vorhersageverhalten.

Mehrere Kriging-Varianten adressieren unterschiedliche Datenmerkmale und analytische Anforderungen. Ordinary Kriging ist die am weitesten verbreitete Form und geht von einem konstanten, aber unbekannten Mittelwert im gesamten Untersuchungsgebiet aus. Simple Kriging setzt einen bekannten, konstanten Mittelwert voraus. Universal Kriging (Kriging mit Trend) bezieht eine deterministische Trendkomponente ein und eignet sich für Daten mit systematischen räumlichen Trends. Indicator Kriging arbeitet mit binären oder kategorialen Daten und sagt Wahrscheinlichkeiten für das Überschreiten von Schwellenwerten voraus. Co-Kriging nutzt korrelierte Sekundärvariablen, um die Vorhersage der primären Variable zu verbessern. Block Kriging sagt Durchschnittswerte über definierte Flächen anstelle von Punktwerten voraus.

Kriging ist die Methode der Wahl für räumliche Vorhersagen in zahlreichen wissenschaftlichen und technischen Fachgebieten. Bergbau und Erdölindustrie nutzen Kriging, um Mineralgehalte und Lagerstätteneigenschaften aus Bohrlochdaten zu schätzen und damit Extraktionsentscheidungen im Wert von Millionen zu leiten. Umweltwissenschaftler wenden Kriging an, um Bodenkontaminationen zu kartieren und Flächen zu erstellen, die sanierungsbedürftige Gebiete identifizieren. Meteorologen nutzen Kriging, um Niederschlags- und Temperaturkarten aus Stationsnetzwerken zu erstellen. Die Präzisionslandwirtschaft setzt Kriging ein, um Bodennährstoffgehalte zu kartieren, die Düngeranwendung zu optimieren und Umweltauswirkungen zu reduzieren. Hydrogeologen krigieren Grundwasserstandsmessungen, um Aquifergeometrie und Fließmuster zu modellieren.

Kriging ist unter seinen Modellannahmen der Best Linear Unbiased Predictor (BLUP) und liefert optimale Vorhersagen, die durch keine andere lineare Methode verbessert werden können. Die Kriging-Varianz liefert räumlich explizite Unsicherheitsschätzungen und zeigt genau, wo Vorhersagen am zuverlässigsten und am wenigsten zuverlässig sind. Die für Kriging erforderliche Variogramm-Analyse liefert zudem wertvolle Erkenntnisse über die räumliche Struktur des untersuchten Phänomens. Kriging respektiert die ursprünglichen Stichprobenwerte exakt und sagt an den Stichprobenorten die beobachteten Werte voraus.

Kriging benötigt ausreichende Stichprobendaten, um das Variogramm zuverlässig zu schätzen, und schlecht geschätzte Variogramme führen zu suboptimalen Vorhersagen. Die Annahme der Stationarität, also dass die räumliche Struktur im gesamten Untersuchungsgebiet konsistent ist, trifft bei komplexen Phänomenen möglicherweise nicht zu. Kriging ist bei großen Datensätzen rechenintensiv, da Matrixoperationen kubisch mit der Anzahl der Datenpunkte skalieren. Die Variogramm-Modellierung erfordert subjektive Entscheidungen über Modelltyp und Parameter, die die Ergebnisse beeinflussen können.

Approximative Kriging-Methoden wie Fixed Rank Kriging und Nearest Neighbor Gaussian Processes skalieren auf massive Datensätze mit Millionen von Beobachtungen. Hybride Machine-Learning-Ansätze verbinden die statistische Strenge von Kriging mit der Flexibilität neuronaler Netze. Bayesianisches Kriging liefert vollständige Posterior-Verteilungen anstelle von Punktschätzungen und Varianzen. Raumzeitliches Kriging erweitert Vorhersagen gleichzeitig über räumliche und zeitliche Dimensionen.